La sección principal del octaedro.

Ahora vamos a ver la sección del octaedro que es muy sencillita también y que nos permite colocar el poliedro a nuestro gusto.

 

Nos basaremos en la cara A,C,D. La dibujamos, teniendo como dato la arista CD, y trazamos el triángulo equilátero ACD. Sabemos que el octaedro tiene todas sus caras triangulares equiláteras y por lo tanto sus aristas iguales también. Con este dibujo obtenemos el segmento 2A altura del triángulo de cara y que a su vez será la que forme los lados de la S.P. de nuestro octatedro. Lo vemos en la siguiente imagen.

 

Una vez que tenemos este segmento 2A, ya podemos dibujar con facilidad la S.P. 

Tomamos la arista 12, que tenemos en la primera imagen, y desde los extremos del segmento 12 con la magnitud 2A trazamos arcos arriba y abajo que nos conforman los dos vértices de la S.P. que unidos con los extremos de 12 nos proporciona el rombo que buscamos en el que trazaremos a su vez las diagonales perpendiculares entre sí. Lo muestra la última imagen.

Con la S.P. ya podremos utilizando estrategias de perpendicularidad, distancias y otras, dibujar el sólido en cualquier situación, bien sobre planos principales de sistema en diédrico, cónico o axonométrico, también sobre planos inclinados y hasta en alguna intersección de superficies que a veces son bastante complejas por la situación de los sólidos.

Ya me gustaría que algún estudiante me mandase un dibujillo del tema al correo, pero es dificil, en fin ,esperaré con paciencia e impaciencia. Todas las chorraducas que escribo siempre son con la intención de que algún alumno se motive, dado que son un elemento básico en mi existir. El estudiante sufre mucho, y yo que estoy acabando cosillas en la Universidad, pues cuando me coloco al otro lado de la mesa con vosotros también me toca algo de humillación y sufrimiento ante la prepotencia de algunos que se creen grandes enseñantes, y lian a la gente más, en vez de exponer su materia de forma clara y entendible.

Bueno un abrazo y el próximo el dodecaedro, que es un pelín más complicado, pero también facilillo si se coje con ganas.

La sección principal del hexaedro o cubo.

La sección principal  del cubo consta de dos aristas opuestas que se unen por dos diagonales de cara a su vez. su construcción es harto sencilla, ya que partiendo de una arista , dato muy común, o de la diagonal de la cara la construiremos sin ningún problema. Si nos dan la arista a partir de esta construímos una semicara y con la diagonal obtenida llevada sobre una de las aristas podremos definis la sp.

Que nos dan la arista, construímos una semicara con un arco capaz, en este caso la semicircunferencia y obraremos de forma análoga. Con la sp definida obtenemos los datos necesarios para poder representar el cubo, como son los radios de vértices y las alturas de estos si el poliedro se encuentra en un posición distinta a la del apoyo sobre su base. En un próximo capítulo explicaremos como se colocan en posición cada uno de los poliedros sobre un plano oblicuo por ejemplo, que suele ser la situación más común y a la vez más comprometida en la que nos encontraremos.

Parece obvio, pero es necesario apuntar que las sp del cubo son dos y perpendiculares entre sí, factor que nos facilitará bastante el trazado del mismo. 

El próximo post será el octaedro, que es un poliedro también muy interesante y bastante común en la casuística docente...¡en los exámenes vamos! .

La sección principal del tetraedro.

La sección principal (en adelante sp)  es simplemente  un plano secante que nos va a proporcionar una sección con toda la información necesaria para construir el poliedro de turno, en este caso el tetraedro.
La sp del tetraero está formada por dos alturas de cara y una arista, es decir su forma es triangular e isósceles y lógicamente las dos alturas de cara se cortan en el punto medio M de la arista opuesta "CD" a la dato en este caso "AB".
La ilustración siguiente nos muestra los detalles.Bueno estoy dando por hecho que todo quiski conoce y entiende las características del tetraedro, que son cuatro caras triangulares equiláteras unidas arista a arista, con un desarrollo bastante sencillo que más adelante veremos.

A la hora de construir la sp. partiremos de una arista y construiremos una cara , bien fácil por que es un triángulo equilátero.Una vez tenemos este primer triángulo, sobre la misma base nos llevamos dos arcos de longitud la ALTURA de esa cara triangular obteniendo el triángulo isósceles de la sp. Para realizar estos arcos tomamos como centros los extremos de la arista, es decir en la figura 2 tomamos la altura NC y desde A arco, lo mismo desde B. Ahora ¡ojo! la posición de la sp es la de la figura 3, dónde una vez colocada en "posición" ya tenemos el vértice del tetraedro que nos falta para poder trazar la figura completa. Da igual si está sobre un plano oblicuo o de otra forma, con recursos de verdaderas magnitudes como giro , cambio de plano o abatimiento siempre podremos dibujarla y obtener el vértice opuesto a la base lo que permitirá la fácil resolución de cualquier ejercicio. Si alguna duda queda me podeis escribir al correo y gustoso os respondo.

Recuerdo a gente que me pide archivos de AutoCad o SolidEdge que no les puedo contestar si no me dejan su correo, no es que no le quiera mandar cosas a la gente, es que no puedo.

Bueno un saludete y hasta el hexaedro que será el siguiente.

“No entre aquí quien no sepa geometría”

Esto aconsejaba Platón a sus futuros discípulos antes de cruzar el umbral de la puerta académica, y nosotros a la par de Buñuel vamos a rasgarnos el ojo y contemplar el pasado por medio de los elementos que configuran la naturaleza desde los poliedros,el tetraedro "fuego", el hexaedro "tierra", el octaedro "aire", el icosaedro "agua" y por fín mi querido dodecaedro el "elemento universal" el "éter" o "quinto elemento", que para mí tiene una singular presencia en mi vida pues me acompañó en diversos hitos de mi triste existencia, en los que por cierto salí triunfante. Pero dejémosnos de novelas y pasemos a conocer las secciones principales de cada poliedro y como afrontaremos su construcción por medio de ellas.Como buen sufridor de una Escuela de Bellas Artes, allí me encontré construyendo los poliedros por medio de los famosos abatimientos de caras , forma y término muy común entre los docentes de estas facultades, pero no fué si no cuando desembarqué con escaso éxito en un principio en la Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica dónde realmente conocí un método para construir un poliedro en cualquier postura en cualquier posición tu cuerpo está libre tus jeans....., el que tenga sobre 40 años sabe como seguía aquel famoso anuncio de Cimarrón. Resumiendo , vamos a empezar por el fuego, el poliedro más sencillito y por otro lado el más común en exámanes universitarios y de todo nivel académico dada su rapidez de ejecución.

Construcción de los poliedros regulares por su sección principal.

En fase de elaboración

La luz.Concepto de reflexión y refracción.

La luz es un fenómeno físico producido por una energía radiante determinada que impresiona el sentido de la vista. Entre teoría y teoría a lo largo de la historia una mezcla de Maxwell, que demuestra la existencia de fenómenos ondulatorios de naturaleza ondulatoria tales como la luz, y la teoría de los cuantos de Plank hoy día se considera la luz como un pequeño conjunto de radiaciones electromagnéticas de longitudes de onda comprendidas entre 380 y 770 nm. La luz forma parte de un espectro electromagnético que comprende tipos de ondas tan dispares como rayos cósmicos, rayos x, ultravioletas, infrarrojos, radio, televisión......etc.

Cada uno de estos tipos de radiación comprende un intervalo dentro del espectro.Dicho intervalo queda definido por su longitud de onda () relacionada con la frecuencia (F), siendo ambas magnitudes características de cada intervalo.

Cuando la luz encuentra un obstáculo transparente o translúcido en su camino, choca con su superficie y una parte de la luz se refleja otra la absorbe el obstáculo y otra lo atraviesa y se transmite a través de el.

Cuando hablamos de Reflexión de la luz nos referimos a un fenómeno que se produce cuando la luz choca con un obstáculo o separación entre dos medios diferentes, que los separa, y no lo atraviesa (opaco) . La luz rebota y sale reflejada o rebotada (lenguaje coloquial por si algún chaval le da por leerlo) dependiendo su dirección de la calidad de la superficie de reflexión. De este modo encontramos tres tipos fundamentales de reflexión:

Reflexión regular. La superficie es brillante o pulida y toda la luz reflejada sale en una sola dirección.

Reflexión difusa. La superficie es mate y la luz se refleja en todas direcciones.

Reflexión mixta. La superficie es del tipo intermedio, barnices, metálicas sin pulir, papeles brillantes etc en este caso nos encontramos con una reflexión de luz desperdigada pero con una dirección que es dominante sobre las demás.

Cuando hablamos de Refracción de la luz nos referimos al fenómeno producido cuando un rayo de luz es desviado de su trayectoria al atravesar una superficie de separación entre medios diferentes (prisma por ejemplo) , debido a que la velocidad de propagación de la luz en cada uno de ellos es diferente por cambiar la densidad del medio.

La transmisión de la luz a través de un cuerpo, sufre dos refracciones:  del paso del aire (ambiente) hacia el interior del cuerpo y del interior del cuerpo al aire nuevamente.

Al igual que la refracción puede ser de tres tipos : regular,difusa y mixta.

Presenta las mismas carcaterísticas que en la reflexión.

Módulo 4. Cinco desnudos femeninos.

Este es el último trabajo del curso, que sirva de despedida a todos los participantes y también a Carlos del Valle, por su atención y coordinación en el mismo.Pero nos vemos en la RED, libre de momento, a ver si pasa la sinditis pronto.

¡Hasta luego Lucas!

Desnudo .Lucien Freud.

                                              

Lucien Freud siempre descuelga sus desnudos con poses estudiadas y muy expresivas . En este caso utiliza una gama cromática de marrones que aclara y oscurece en las distintas zonas del lienzo. A pesar de lo axfisiante del encaje la figura se dota de un gran dinamismo visual forzada por las líneas oblicuas y paralelas que descienden de derecha a izquierda confundiendo la lectura de la escena. Aparecen varios triángulos que dotan de espiritualidad la escena y que invitan a múltiples mensajes, desde el sexo que se presenta como una fruta partida y que se expone groseramente al espectador que junto al formado por los senos y el rostro girado, escondido simulando dormir pero colocado artificialmente para contraponerse al triángulo que a su vez forman ambas piernas y que contiene al sexo. Ambos triángulos, el superior y el de las extremidades se colocan en simetría respecto a la perpendicular a las diagonales marcando dos zonas , una ,la maternoespiritual representada por los pechos que dan de mamar  representando la ternura de la meternidad y la otra terrenal atada a la sexualidad y en consonancia con los valores humanos y primitivos. Esta sensación se fortalece con la aparición de la única zona clara , casi blanca en la cabeza , zona del triángulo superior ,como si de una nube se tratara, en antítesis con la oscuridad del sillón simbolizante de la zona terrena y sexual. El formato vertical se compone de cuadrado más un cuarto, siendo reducido para el volumen de la forma y transmitiendo una pesadez que incomoda al observador.

Ars Moriendi.Joel-Peter Witkin.

 Me inclino a comentar algo de la obra de este fotógrafo americano por que desde siempre me resultó muy atrayente a pesar de la dureza de su temática a veces rozando la necrofilia. La verdad es que tuve experiencias de infancia muy similares a las suyas y que posiblemente respondan a la expresividad de estas imágenes.Esta especie de ambrotipo muestra un desnudo rodeado de forma estratégica de cabezas humanas descompuestas, o en estado de descomposición. Reales por supuesto y que ya en sí mismas están creando un contraste brutal con la modelo . El gesto facial de las cabezas inferiores lanza un mensaje subliminal pues todas están gritando, como si fuesen un grupo de torturados o dolientes.La parte inferior representa claramente el infierno o la vida humana. El lado izquierdo recoge la transición o ascensión al estrato superior  blanco que engloba el cielo o la zona espiritual. El cielo nos muestra una simetría de transición entre la cabeza pútrida superior que ya no grita y el rostro de la modelo, espíritu en este caso. En los desnudos aparece siempre el triángulo "rostro senos" símbolo de maternidad y el sexo aparece con apenas vello púbico y escondido entre las ingles de la modelo mitigando cualquier connotación sexual en la imagen. Los guantes y el ramo simbolizan la limpieza espiritual el abandono de la carne y el cuidado con que se trata el nuevo estadio vital.  El espejo muestra la belleza de las criaturas espirituales donde recrean su imagen en contrate con la caducidad del cuerpo de carne y sangre.Las líneas direccionales muestran una, el eje de tensiones y rupturas entre la parte inferior y superior, como si fuese una línea infranqueable. Otra línea principal une la cabezas y el espejo sobre la boca de la modelo con un nuevo mensaje subliminal. El formato es un cuadrado perfecto , signo de inmutabilidad y realidad sin remisión.

Mujer en la bañera . Antonio López.

Antonio López  nos da una muestra de intemporalidad, sumergiendo una escena  cotidiana en un vaho de color verdoso casi hospitalario . Sólo hay dos referentes figura y fondo, un fondo,poco insistente a la retina y un borde blanco de bañera que llega a asemejarse a una mandorla que envuelve el motivo principal...la mujer.

En esta se destacan las rodillas y la parte pectoral con machas de color profundamente luminosas, y en una de ellas, se fuerza el posado con una forma triangular en un intento de flexión de salida  del agua y que imprime una sensación notable de dinamismo. El rostro observa sus piernas perdiendo frontalidad hacia el espectador, ausente, pensativo, obligándonos a mirar por la cerradura de la puerta observando indiscretamente la escena.

No hay fotografía, si no robo en el tiempo.De nuevo se fuerza la escena con una diagonal que divide el cuadro en dos ´sreas y secciona la figura en dos, abajo oscuridad arriba luz. Cuadro más bien neutro que fija su mirada en el espacio etéreo que rodea la imagen.El formato del soporte se basa prácticamente en  la sección áurea con pequeñas modificaciones casi inapreciables y que seguramente son consecuencia de su enmarcación.

Desnudo. Joaquín Sorolla.

Esta magistral obra de Sorolla se dimensiona sobre una gama gama cromática tonal común que demuestra la versatilidad del dominio de la luz y color del autor. La figura ocupa la parte horizontal del espacio y marca un eje también horizontal que refuerza la línea de tierra y que amplifica el humanismo de la obra. Ese espacio horizontal tan notorio tiene que ver con el equilibrio y la paz que envuelve la intimidad de la escena.Se observa una composición en la pose en la que se utilizan tres formas básicas, el círculo, el triángulo y el rectángulo. La dimensión triangular se interseca con el círculo dando importancia al personaje retratado y que transmite algo más que la estética del cuerpo femenino; si a esto unimos lo decoroso del posado nos damos cuenta que la intención es mostrar sólo parte de la figura envuelta en una luz cegadora que introduce un aura de pureza y divinidad. Los contrates cromáticos más acentuados se producen entre la cabeza y su opuesto en la sábana de encaje que semicubre los pies.La zona de las nalgas muy trabajada y con gran protagonismo es punto de cruce del eje horizontal y el marcado por el cuerpo.Se denotan con intensidad las pocas zonas erógenas de la modelo por medio de luces más intensas. Sabido es que la modelo siempre fué reticente al posado desnudo y que admitió como último recurso el desnudo de espalda más aconsejable para la moral de la época en una mujer casada. El formato basado en la divina proporción .

Mujer. Nicanor Piñole.

La obra de este pintor gijonés llena de colorido norteño  sin embargo en este retrato desnudo se ciñe a un colorido totalmente terrenal con tintes rojizos para marcar algún volumen envolviendo el ambiente con un cierto erotismo.La figura ocupa la parte izquierda liberando mucho espacio en la derecha que apenas se cubre de color y permite la aparición del fondo de papel . Posiblemente por la imprecisión del encaje y trazado del pastel con modelo vivo. No obatante se equilibra con el marcado escorzo de las piernas de la modelo que ocultan el sexo de un modo púdico y que apenas permiten apuntar el vello púbico.Las líneas de tensión equilibran también la escena al cortarse casi perpendicularmente en los ejes corporales de la modelo.

Sin duda hay un equilibrio geométrico en la pose que toda ella recalca la castidad de la imagen muy propia de la moralidad de Piñole. La cabeza ocupa un lugar destacado aún más que el cuerpo , siendo punto de paso exacto de la diagonal que une la esquina inferior izquierda con la superior derecha.El formato consta de cuadrado más dos partes y media, pudiendo prescindirse de sesta última sin variar el formato pictórico. Da la sensación de un encaje en directo con la modelo en taller en el que Piñole acepta sin más la factura por  resultarle aceptable estéticamente, pues a mi parecer desequilibra un poco el espacio.Desde luego nada tengo que decir en contra pues la naturalidad  y frescura del pastel junta a  la calidad de la técnica impide cualquier comentario crítico sobre la obra del maestro en este caso.

Números mórficos.El número plástico.Dom Hans van der Laan.

Los números mórficos son únicamente dos, el número de oro y el número plástico.Este último viene a ser la razón ideal para una escala geométrica para objetos espaciales, o una especie de número de oro espacial.

Sin ánimo de entrar en los sesudos estudios matemáticos en torno al tema, podemos decir que el número plástico es la intersección entre la función de y = x3 y la recta y = x+1, dicha intersección es un único punto

1,32471795...... Este número pertenece a la familia de los números plásticos soluciones reales positivas de la ecuación xn – x – 1 = 0, si n = 2 obtenemos Φ el número de oro, si n = 3 la solución es el número plástico.

El rectángulo áureo es el único en el cual la prolongación de una diagonal contiene el vértice del mismo rectángulo adyacente colocado verticalmente al lado. Esta misma propiedad se produce tridimensionalmente entre dos sólidos que cumplan el siguiente teorema :

Un paralelepípedo de lados a,b y c \ a ≥ b ≥ c satisface la propiedad de la figura inferior si y solo si
a= P c ; b = P c ; con c arbitrarios y P es el número plástico P= 1,3247... solución real de la ecuación x3 = x + 1 .
(teneis que perdonar pero el dichoso blog no me permite los superíndices para las potencias y no que dan bien las espresiones.)

Dom Hans van der Laan, nacido el 29 de diciembre de 1904, estudió arquitectura en Delft, bajo la tutela del profesor Granpé-Molière.En 1927 se hizo monje  de la abadía de Oosterhout.Van Der Laan estaba seguro de que la primera medida vendría impuesta por la mente, por la idea que cada uno tenía acerca de lo que deseara hacer después. Y así, a partir de esta primera idea de medida, el arquitecto empezó a plantearse la posibilidad de que este número inicial, primitivo no en sentido estricto, debiera ser un número especial, es decir, un número capacitado para suscitar belleza, orden, armonía. Capaz de reflejar exactamente lo que buscamos en cada momento. Un “número propiamente arquitectónico”. El número plástico.Este es presentado por el arquitecto como la proporción ideal de la escala geométrica sobre la que deberían estar fundamentados todos los objetos espaciales. Así, conviene tener en cuenta el hecho de que para Hans van der Laan, el origen de todo es el número, es decir, todo, absolutamente todo, responde a leyes establecidas por una inteligencia (que, según él, será la de Dios en el caso de los seres naturales y la del hombre en el caso de los seres artificiales).Desde un primer momento, afirma que sólo dándole prioridad al “número arquitectónico” y reflexionando sobre él, se podrá resolver de forma correcta el problema de la forma en la arquitectura contemporánea.Para ello, considera necesario descubrir el modo que nos permita construir un orden artificial lógico que sea semejante al natural, compatible con él, más aún, que lo refuerce.Cabe mencionar también la importancia de que Van der Laan fuese monje, lo que le llevó a proyectar diversas iglesias, especialmente la del monasterio de Vaals, donde desarrolló gran parte de su vida. En esta iglesia, que se encuentra en la abadía de Sint Benedictusberg empleó, en toda su construcción, el número plástico como guía para crear el espacio que buscaba.

El Ken. El módulo en Japón.

China exportó el Shaku, que viene a ser un equivalente al pie inglés y se divide por unidades decimales. En la edad media aparece el Ken. En un principio sólo fue una medida intercolumnas  con dimensión variable, pronto se adaptó a la arquitectura residencial. Rápidamente evoluciona desde medida constructiva hasta llegar a ser un módulo estético que rigió la estructura , los materiales y el espacio de la arquitectura japonesa.Aparecen dos sistemas de diseño , el Inaka-ma, con trama Ken de 6 Shaku separaba los ejes de columnas modificando el tatami haciéndolo variar en razón al diámetro de la columna.

Y el método Kyo-ma en el que el tatami era constante y el intercolumnio  (módulo Ken)dependía de la medida de la estancia.

Así, las medidas de una habitación dependía del número de esteras.En un principio era meramente antropomórfico (dos sentados o uno echado) .Conforme se desarrolla la trama Ken, se supedita exclusivamente a las necesidades de un sistema estructural y a la separación entre columnas. En base a su modulación , 1:2 , las esteras pueden adoptar gran número de posiciones para cualquier dimensión de habitación, y se fija para éstas una altura de techo : 

altura de techo(Shaku)=número de esteras x 0,3

En el edificio residencial la trama Ken rige la estructura y la secuencia aditiva, de espacio a aespacio, de las diferentes habitaciones.Permite su escaso tamaño disposiciones de forma libre ya sean modelos lineales, agrupados o arbitrarios.

Andrea de Palladio.Planta Ideal.Forma de Habitaciones. Determinación de las Alturas.

Desde Venecia Andrea Palladio publicó siguiendo los pasos de sus antecesores Alberto y Serlio su obra Los Cuatro libros de Arquitectura y propuso las "siete formas de habitación más bellas y proporcionadas".Palladio presentó también métodos para cálculo de la altura de un habitación de forma que se proporcionarse con el resto de dimensiones.Para habitaciones de techos planos la altura debe ser igual al ancho de la misma. Si es cuadrada de techo abovedado la altura sería un tercio mayor que su anchura.En otras estancias Palladio empleó el teorema o mejor dicho la teoría de los medianos de Pitágoras, para el cálculo de alturas. Se citan tres clases de medianos: aritmético, geométrico y armónico.

1- Aritmético:    (c-b)/(b-a)=c/c. ej. 1,2,3..o 6,3,9.

2- Geométrico:  (c-b)/(b-a)=c/b. ej. 1,2,4..o 4,6,9

3- Armónico:     (c-b)/(b-a)=c/a. ej. 2,3,6..o 6,8,12

En cada uno de ellos el mediano (b), situado situado entre los dos extremos de la habitación (a) y de la longitud (c), era la altura de la misma.

"La belleza surgirá de la forma y de la correspondencia del todo con las partes , de estas entre sí mismas y, una vez más, de éstas con el todo; así la arquitectura puede aparecer como un cuerpo absoluto y completo , donde cada miembro concuerda con el otro y con todo aquello que sea preciso para componer lo que uno pretende .".Adrea Palladio, Los Cuatro Libros de la Arquitectura, Libro I, capítulo I.

LÍNEAS REGULADORAS.Antonio da Sangallo. Palacio Farnesio.

Dos rectángulos son proporcionales si sus diagonales son paralelas o perpendiculares.Estas diagonales que señalan la alineación de unos elementos con otros se denominan líneas reguladoras.Aunque las encontramos en el estudio de la sección áurea, sirven también para controlar la proporción y situación de otros elementos en otros sistemas de proporcionalidad.

Es curiosa la aportación del libro The Mathematics of the Ideal Villa sobre la semejanza existente entre la subdivisión espacial de una villa de Palladio y la trama estructural de una de Le Corbusier. Ambas obras comparten un sistema común de proporcionalidad y un orden matemático más elevado.

En el análisis del Palacio Farnesio (s.XVI) se muestran claramente que las proporciones de la fachada se someten a las líneas reguladoras basadas en el rectángulo y mostrando un juego y ritmo de perpendicularidades y paralelismos de diagonales. Aunque en esta época la fachada aún se somete al esfuerzo portante el arquitecto realiza un prodigioso alarde de proporción y simetría magistral.

Las sucesivas bandas horizontales transmites esa pesadez quietud y permanencia del sistema religioso, pues no se debe olvidar el encargo papal para la construcción. Dato interesante es la cornisa que parece a modo de sombrero romper la sobriedad y racionalidad de la fachada, si bien recordamos que esta edificación la remata el gran Miguel Angel a la muerte de Sangallo.
Siento que las proporciones se tengan que forzar pero la calidad de las fotos no permite  trabajar muy bien sobre ellas. Si clicas la foto se aprecia a un tamaño mayor.

El Modulor.Le Corbusier.

Le Corbusier desarrolló su sistema de proporcionalidad, considerando los medios de medida de los griegos, egipcios y otras civilizacioes como base para sus contenedores humanos, "las dimensiones de aquello que contiene y es contenido".Asentó su medio de medición, el modulor, en las matemáticas (las dimensiones estéticas de la sección aúrea y la serie de Fibonacci) y en las proporcioes del cuerpo humano (las dimensiones funcionales). En 1948 queda establecido esta medida armónica a escala humana , aplicable universalmente en la Arquitectura y la Mecánica. Para Le Corbusier esta medida no era solo una serie de números armónicos, sino que reprtesentaba el dominio sobre longitudes, superficies y volúmenes, para mantener la escala humana en todas partes. La trama básica se compone de tres medidas: 113,70,43 cm., proporcional a la sección aúrea.

40+70=113;  113+70=183;  113+70+43= 226 (2x113).

Desde las medidas 113 y 226 Le Corbusier desarrolla las series Roja y Azul, escalas descendentes de las dimensiones relacionada con la estatura de la figura humana. El principal trabajo con el modulor fué su Unité d'habitation en Marsella, ya comentada en el anterior trabajo. Para no repetirme comento otro edificio basado en el modulor, la casa Curruchet (toma el nombre de su propietario el doctor Curruchet), en la ciudad de la Plata (Argentina). El arquitecto utilizó este sistema para dimensionar los ambientes de la vivienda, las distancias y las alturas de techo (se tuvo que pedir un permiso especial en la Municipalidad de La Plata para construir habitaciones de una altura más baja que el reglamento).

La Naturaleza por los Números. Curso Xeometría e Arte.

PRÁCTICA 2.POLÍGONOS.SIMBOLISMO.

Petroglifos.Galicia y León. Espirales.

Petroglifos de Mogor. Marín. Pontevedra. Neolítico. 2000 a. De C.

Petroglifo de Astorga. León.

Los Laberintos de Mogor tienen gran semejanza con otros similares encontrados en la isla de Wier (Laponia), así como en Gothland (Finlandia), en Islandia y en Cornualles.

Según una de las principales teorías sobre estas obras que presenta este laberinto de espirales como un homenaje al héroe Teseo que dió muerte al Minotauro.Serían obra de un pueblo navegante que esculpió estos grabados para homenajear el combate del palacio de Knosos. Hay quien dice que deriva del arte rupestre sin significar claramente su mensaje, otros apuntan que son marcas territoriales, o incluso tumbas celtas con simbolismos druídicos en los que la naturaleza es una espiral. Desde lo más grande que conoce el ser humano, las galaxias, al más pequeño elemento definitorio de la vida, la espiral se hace presente en forma y presencia. La elipse de la tierra y del resto de los planetas alrededor del sol es una espiral.

A veces me he preguntado, alguien a colocado una planimetría de los petroglifos sobre un mapa astral, o sobre una carta naútica, o algún mapa costero de la zona en que se encuentran. Imagino que sí. De todas formas la espiral en su más básico significado por forma y ritmo es el sol y como tal las interpreto en estos grabados. Es curioso que en otras zonas de España aparezcan petroglifos que no tienen relación con ninguna de las anteriores propuestas referidas a su origen y realizadores. Es el caso de los petroglifos maragatos, que se constituyen de de cazoletas (coviñas) , laberintos , espirales, composiciones circulares , figuras de animales, antropomorfas etc. Que respuesta común se puede dar a unas expresiones tan distantes en pueblos y culturas. La respuesta sólo puede ser que la simbología sea común a todos ellos, en este caso la reprentación del sol y sus líneas de movimiento. ¿Que quiere decir esto?. Parece lógico pensar que estos grabados simbolizan el sol en sus posiciones más importantes a lo largo del año, con su aparejamiento a los actos ceremoniales y ligado a las estaciones. Incluso podría tener una función de calendario sagrado.

Inserto otras imágenes que nos harán sin duda reflexionar en estos aspectos.

Leda Atómica. Daaalí.

“Las Ciencias matemáticas son parientes de la magia,... porque todo cuanto pueda existir en las fuerzas naturales esclavas no consiste más que en número y armonía”

El pentágono estrellado o pentagrama místico, parece ser el símbolo de la escuela pitagórica portando una fuerte carga espiritual y ligada a la magia. Fue muy estudiado por esta escuela, ahondando en sus propiedades geométricas y esotéricas. Sintetizando se puede decir que encuentran dos propiedades principales, la unicursalidad (trazar sin pasar dos veces por un mismo punto) y su relación con la palabra ¡salud ¡ griega (higieia). El pentagrama se construye también con tres triángulos isósceles iguales (tripletriángulo) como menciona Euclides en su libro IV de Los Elementos, y de asombrosas relaciones con la sección aúrea, de tal forma que Euclides le llama triángulo aúreo presentando este propiedades como la autoreproducción al igual que el rectángulo. Estos conocimientos se asocian con el gótico relacionándose en la llamada magia gótica y que va pasando por maestros de obras y albañiles de generación en generación apareciendo en multitud de detalles arquitectónicos.  Estando presente sin duda en la obra de Dalí y que a pesar de aparecer oculto al espectador en este cuadro de Leda queda clara su existencia. Dalí coloca a Gala en el centro del cosmos como figura concentradora de todas las fuerzas de la magia-número y de la creación. Su devoción por ella le empuja a divinizarla hasta el punto de darle la salud-vida eterna.Sin duda la leyenda del yacer de leda con el cisne Zeus tiene relación con la frecuencia de amantes con los que Gala renovaba su palmarés sexual, focalizados en un Dios representativo del sexo. El cuadro contiene elementos probatorios de la relación con la ascuela pitagórica y sus herederos góticos representados en una escadra de obra y elementos de trazado apuntados en las sombras que pueblan la zona inferior de la obra. Hay que pensar que la idealización de Gala y el número aúreo parten de Dalí , pero recordando que sus carencias en matemética las suplió con la colaboración del matemático rumano Matila Ghyka, existiendo una simbiosis entre ambos.

Santa María Novella.Alberti.

A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina,media,  extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares. flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera trasparente. A ti, divina proporción de oro.

Santa María Novella.

“Pregunta 5 (2 puntos) (En el dibujo de la fachada de Santa Maria Novella de Leon Baptista Alberti, Florencia 1470: Indicar los elementos geométricos que se encuentran en la reproducción propuesta: Indicar la presencia de módulos, polígonos, curvas, tangencias y simetrías.” Pruebas de la Comunidad Valenciana de acceso a Facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios.)
 La anterior reseña me llamó la atención sobre la vigencia del curso que estamos  realizandoy la importancia que estos elementos tienen en la formación de nuestros alumnos. Aunque esta es una obra muy manida y analizada en todo cuirso de geometría e historia del arte, parece conveniente recordarla de nuevo como uno de las grande exponentes del Renacimiento y de la recuperación de los grande clásicos como Vitruvio y su triada “utilitas-venustas-firmitas” recuperada y magnificada por Alberti en su “De re aedificatoria”. En el análisis formal y geométrico se marcan someramente las líneas principales que atañen a nuestros contenidos más básicos y que se repiten sistemáticamente en cada edificio que analicemos dado que los mensajes religiosos permanecen inmutables desde la noche de los tiempos. Aunque Alberti lo que realmente hizo fué culminar una obra inconclusa e integrarla componiendo un mausoleo iglesia, se basa en la dicvina proporción y las figuras elementales. En primer lugar una simetría total en arcadas y elementos compositivos.  La presencia de puntos concede ritmo a la fachada plana y estática. Apreciación personal mía cuento 13 círculos que bien pueden representar a los doce apóstoles y Jesús. Dando una idea de perfección universal e invitando a la reflexión sobre los dogmas de la Fe. Las volutas resuelven la unión del cuerpo principal y sus laterales evocando un ascenso al infinito que se vrá culminado con el triángulo del frontón que sostiene el ojo de Yahvé que todo lo observa.

Toda la parte superior del frontón se encuadra en un entramado modular cuya base es el cuadrado que nos invita a reflexionar en lo importante del hombre en el cosmos y su relación intrínseca con Dios.

Opinión personal que la poca calidad de la foto permite señalar es la aparición de la siemtría dinámica de Platón en algunas partes de la fachada, en la zona inferior.

Zigurat de Ur

Zigurat de UR.

La antigua ciudad mesopotámica de Ur fue el centro principal del culto a Nanna, el dios lunar de la religión sumeria. El gran zigurat de esta deidad, uno de los mejor conservados de cuantos se hallan en el actual Irak, se eleva unos 21 m sobre el desierto donde se asienta.

En el aspecto compositivo podemos intersecar o superponer un triángulo y varios rectángulos escalonados, realmente trapecios pero con tan poco ángulo entre las bases que se asimilan a rectángulos.
Dan lugar a una intepretación totalmente mágica, y que no se da casi en ninguna otra construcción de este tipo, afectando incluso nuestras más íntimas tradiciones religiosas.
El triángulo podría representar la montaña, el poder de la tirra que desafía a los cielos; que se ve reforzado con la presencia del escalonamiento que nos aúpa a los cielos mismos.
La Torre de babel según se narra en el capítulo 11 del Génesis en la Biblia, con la construcción de esta torre los hombres pretendían, , alcanzar el Cielo.
Podríamos hablar de observatorio , tumba real etc..pero lo que es cierto que en una época en que los egipcios construían sus pirámides a base de grandes bloques de piedra sobre la arena del desierto, los primitivos sumerios de lengua aglutinante levantaron sus grandes torres de ladrillos que todavía se conservan desafiando al tiempo en la llanura mesopotámica, y más al norte, a orillas del Tigris, en Asiría.
Haciendo una comparativa con la pirámide egipcia, el sancta santorum de la barca sagrada sería el casetón superior precedido de una entrada simbólica en la parte media de la pirámide.
Las distintas rampas muestran distintos caminos de acceso a los cielos(tradición asimilidada en el cristianismo más adelante)
.
Apreciamos las líneas de tensión en el alzado triangular convergentes en la cúspide dando muestras de inalcanzabilidad al fiel y manteniendo el rango de semidioses a aquellos elegidos para el desarrollo ceremonial.
La simetría que representa es total en cualquiera de sus vistas, manteniendo una fuerte carga espiritual sobre el observador acrecentada por su imponente estructura.

Para este primer ejercicio y dado lo emblemático de la construcción, al menos para mí,me parece mejor mostrar y comentar un vídeo que recorre la totalidad de esta edificación ubicada en Marsella.Edificio comenzado en 1951 se basa en el hormigón en bruto como material primordial de construcción y enlucido.Se podría escribir bastante sobre sus características postbélicas, escaseces de materiales, doctrinas etc. pero lo que interesa es la geometría y el arte en este caso.
Es un contenedor de lectura exclusiva poligonal. El polígono estrella o los polígonos son sin duda el rectángulo y el cuadrado, sin ninguna curva visible en las cuatro fachadas. Su implementación en el suelo, elevado sobre él, nos ofrece un resalte sobre la línea del horizonte y afianzando la línea de tierra poderosamente. Transmite una sensación de poder basado en su fuerte volumen y también en la independencia que le conceden sus vigorosas pata sobre las que se asienta separándose del suelo y adquiriendo la independencia sobre todo su entorno. Es poder e autarquía para sus habitantes. La primera sensación tras estos aspectos que me transmitió fue la de equilibrio pesado, como si de una parte del terreno mismo se formara y que me invitaba a participar de la comunidad humana que en él habita.
La parte central con sus ventanas cuadradas a modo de eje de simetría puede representar el centro como materia para que los compartimento o unidades se distribuyan por la periferia de pendiendo de este núcleo central.
Es curiosa la parte inferior totalmente diáfana tan sólo cercada por las fortísimas patas de hormigón que invita al descenso a la tierra, una permeabilidad y liberación.
Si nos introducimos en la edificación y vamos ascendiendo nos damos cuenta d la naturaleza de autosuficiencia que embriaga los espacios y la preocupación por el hombre y los servicios autónomos para él ideados.
El gran contraste aparece en la azotea donde desaparece la racionalidad, la existencia cotidiana y el apego a lo material. La azotea es un espacio etéreo en el que todo cambia, la chimenea con forma tubulada de hoja de papel por la que se fugan los humos más cerca del cielo, representado a su vez por medio de las curvas de la cubierta del gimnasio y la enfermería. Es un espacio atrapado para el sueño, para la convivencia
tribal en un espacio particular desde el que se domina todo el entorno físico e influenciados por la tectónica casi el espiritual.
Así resumimos la construcción, en la base, con sus patas ciclópeas triangulares invertidas, que clavan con poder el edificio en la tierra, la parte habitacional, equilibrada, real, existencial, material y cotidiana, basada en rectángulos y cuadrados y la azotea centro neurálgico del edificio que viene a ser una especie de entorno espiritual rodeado de formas curvas y volumétricas cercanas a la bóveda celeste.

PRÁCTICA 1 .CINCO IMÁGENES.

Antonio López Torres (mi tío) de Antonio López García.

Este cuadro de Antonio López muestra una visión casi etérea que a mí personalmente me traslada a mi pueblo y a mi ninez. La obra presenta un formato totalmente simétrico basado en la ley de la balanza, siendo las fuerzas equilibradoras, el tío de Antonio López y por otro lado el chinero. Las figuras de la parte izquierda aunque más pequeñas siempre agrupan una mayor fuerza que se contrarresta con el mueble de un mayor volumen.El artista nos sitúa en un plano visual bastante alto que se marca con las horizontales de color verde, que dan un tamaño casi igual al plano del solado como al del tabique y puerta que se asemejan a una frontera hacia el más allá. Este ambiente casi irreal se rompe con el dinamismo de las líneas oblicuas del suelo que fugan al fondo.
La puerta abierta a la siguiente estancia nos muestra un cuadro al fondo que toma protagonismo como si de otra persona se tratase y su simple forma poligonal añade un nuevo elemento perspectivo que altera la paz de la escena.

Las tres edades. Gustav Klimt

La imagen está moteada de puntos de color que se asemejan a flores que bien pueden recordar el jardín de la vida. Ambos planos, el superior negro representa la oscuridad de la muerte y la vejed.
El gran fondo marrón la tierra acogedora de nuestros cuerpos. Y entre ambas la pequeña figurilla en brazos de la joven y detrás la anciana esconde su rostro. Las tres son figuras totalmente verticales marcando las tres líneas la perspectiva de un espacio carente de ella. A pesar de contar con planos amplios de color la centralización de las tres figuras su verticalidad y color hace de ellas el centro de la escena y del mensaje.
Los pliegues del vestido con sus curvas y partiendo desde la base del lienzo da sensación del comienzo de la vida y su movimiento parece una hélice cónica de la que surge la primera e infantil edad, que con el sucesivo avance hacia atrás se convertirá en anciana, incluso las flores círculos cambian su color y matiz a una gama entre otoñal e invernal.

Lucien Freud.El artista y su modelo

El cuadro muestra una escena en este caso con una fuerte carga sexual explícita relacionada con la pintura y el poder del artista.
Un círculo espacialmente central marca los genitales del pintor a los que las líneas de mirada y la marcada por la trayectoria del pincel (posiblemente símbolo fálico en este caso) llevan la atención del observador. El juego de diagonales y perspectiva forzada con una posición entre frontal y aérea aumenta el desconcierto sobre la escena, en la que la modelo toma el papel inverso al que le corresponde, siendo en este caso el pintor quien posa de una manera obscena.Los estrechos espacios y asfixiante encuadre junto al ambiente destartalado aumenta el sucio juego al que se abocan las figuras protagonistas y en el que hacen participar al espectador.

El artista y su modelo.Lucien Freud

La rendición de Breda. Velázquez

Este cuadro representa en la estructura y composición de sus líneas la antítesis de vencedores y vencidos. El mixticismo entre línea horizontal y puntos elípticos formados por las cabezas delimita el espacio entre los contendientes y el campo de batalla en la parte vertical.Elpredominio de estas curvas y su posición resalta un ambiente de qwuietud lo que nos transmita el fin de la batalla.De nuevo la línea como elementro transmisor de mensaje, las lanzas abigarradas de los vencedores y la pobreza de los vencidos en menor número y con falta de verticalidad en su factura.

Piero della Francesca, El Bautismo de Jesucristo

En esta obra señalamos los elementos estructurales más importantes. El formato de la parte superior del lienzo es circular transmitiendo sensación de espiritualidad. La línea horizontal muestra la separación cielo tierra con los valores divinos y religiosos que ello transmite. Frente a una perspectiva cónica central fuertemente hierática, el autor introduce diagonales tanto en la mirada de los componentes de la escena como en sus poses para dinamizar la escena. La paloma sobre la cabeza del protagonista es un punto situado en su parte central y que nos hace fijarnos y nos transmite el origen sagrado de la situación.